Langkah Mudah Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

kita dapat mengamati bahwa dalam menyelesaikan SPLTV kita dapat menyederhanakan persamaan kedua dan ketiga dalam sistem tersebut, sampai kita mendapatkan suatu sistem yang ekuivalen dan dapat diselesaikan dengan mudah. Selanjutnya, perhatikan operasi-operasi yang dapat menghasilkan sistem persamaan yang ekuivalen berikut.

1. Mengubah urutan persamaan.
2. Mengganti suatu persamaan dengan hasil kali bilangan tidak nol terhadap persamaan tersebut.
3. Mengganti suatu persamaan dengan hasil penjumlahan dari dua persamaan dalam sistem tersebut.

Berdasarkan 3 operasi di atas, kita dapat menyelesaikan SPLTV dengan menggunakan pendekatan berikut.

1. Tulis semua persamaan ke dalam bentuk standar: Ax + By + Cz = D.
2. Apabila ada persamaan yang variabel x-nya memiliki koefisien 1, jadikan persamaan tersebut menjadi persamaan 1.
3. Gunakan suku-x pada persamaan 1 untuk mengeliminasi suku-x pada persamaan 2 dan 3. Persamaan 1 serta persamaan 2 dan 3 yang baru akan menghasilkan suatu sistem yang memuat subsistem persamaan linear dalam dua variabel.
4. Selesaikan subsistem yang dihasilkan pada langkah 3 untuk dijadikan persamaan 3 yang baru. Sistem yang terakhir merupakan sistem yang sederhana dan dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi terbalik.

Selanjutnya kita akan mencoba untuk menyelesaikan SPLTV,

3x -   y + 2z = 15 
2x +  y +   z = 13
3x + 2y +  2z = 24

dengan menggunakan 4 langkah di atas. Pada contoh 3 berikut, notasi –2P1 + P2 → P2 mengindikasikan bahwa hasil dari persamaan pada baris pertama dikalikan dengan –2 dan dijumlahkan dengan persamaan pada baris kedua akan menggantikan persamaan pada baris kedua untuk menjadi persamaan 2 yang baru.

Contoh Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian x, y dan z dari persamaan berikut!

3x -   y + 2z = 15   ........(i)
2x +  y +   z = 13  ........(ii)
3x + 2y +  2z = 24   .......(iii)

Penyelesaian:
Gunakan metode eliminasi terhadap 2 persamaan terlebih dahulu:

3x - y + 2z = 15   | X 1  →   3x  - y + 2z =  15
2x + y +  z = 13   | X 2  →   4x + 2y + 2z = 26
                            ____________________ -
                                          -x - 3y = -11  ..........(iv)

2x +   y +  z  = 13  | X 2  →  4x + 2y + 2z = 26
3x + 2y + 2z = 24  | X 1 →   3x + 2y + 2z = 24
                            ________________________ -
                                                          x = 2.......(v)

Karena dari persamaan (v) kita sudah mendapatkan nilai x, sekarang tinggal gunakan metode substitusi terhadap persamaan (iv)
  -x - 3y = -11
  -(2) - 3y = -11
          3y  = -11 + 2
         3y  = 9
           y  = 3

Sekarang kita sudah mendapat nilai y. Langsung saja subtitusikan nilai x dan y pada salah satu persamaan i, ii, atau iii untuk mengetahui nilai z:

2x +  y +   z = 13
2(2) + 3 + z  = 13
    4 + 3 + z  = 13
          7 + z  = 13
                 z  = 13 - 7
                 z  = 6

Maka himpunan penyelesaian dari ketiga persamaan tersebut adalah {2; 3; 6}

Share :